1. Polinômios e equações polinomiais
Equação polinomial ou algébrica é toda
equação da forma p(x) = 0, em que p(x) é um polinômio:
p(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 de grau n, com n ≥ 1. Veja alguns exemplos:
x4 + 9x2 – 10x + 3 = 0
10x6 – 2x5 + 6x4 + 12x3 – x2 + x + 7 = 0
x8 – x6 – 6x + 2 = 0
x10 – 6x2 + 9 = 0
p(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 de grau n, com n ≥ 1. Veja alguns exemplos:
x4 + 9x2 – 10x + 3 = 0
10x6 – 2x5 + 6x4 + 12x3 – x2 + x + 7 = 0
x8 – x6 – 6x + 2 = 0
x10 – 6x2 + 9 = 0
As raízes de uma equação polinomial constituem o conjunto solução da equação.
Para as equações em que o grau é 1 ou 2, o método de resolução é simples e
prático. Nos casos em que o grau dos polinômios é 3 ou 4, existem expressões
para a obtenção da solução.
Teorema Fundamental da Álgebra (TFA)
Toda equação polinomial p(x) = 0, de grau n onde n ≥ 1, admite pelo menos uma raiz complexa.
Exemplo 1
Determine o valor do coeficiente K, sabendo que 2 é a raiz da equação:
2x4 + kx3 – 5x2 + x – 15 = 0
Se 2 é raiz da equação, então temos:
2(2)4 + k(2)3 – 5(2)2 + 2 – 15 = 0
2*16 + k*8 – 5*4 + 2 – 15 = 0
32 + 8k – 20 + 2 – 15 = 0
8k + 34 – 35 = 0
8k – 1 = 0
8k = 1
k = 1/8
Temos que o valor do coeficiente k é 1/8.
Exemplo 2
Determine o valor de m, sabendo que –3 é raiz da equação: mx3 + (m + 2)x2 – 3x – m – 8 = 0.
Temos que:
m(–3)3 + (m + 2)( –3)2 – 3(–3) – m – 8 = 0
m(–27) + (m + 2)(9) + 9 – m – 8 = 0
–27m + 9m + 18 + 9 – m – 8 = 0
–27m + 9m – m = 8 – 18 – 9
– 19m = –19
m = 1
