Principais exercícios de Vestibulares - Matéria Matemática - Explicação - Funções Logarítmica e Exponencial

8-  Funções Logarítmica e Exponencial

Existem equações exponenciais que não podem ser reduzidas a uma igualdade de potências de mesma base. A partir do estudo de logaritmos podemos resolver esse tipo de equação. Para a resolução dessas equações utilizamos a definição de logaritmo:

com 0 < a ≠ 1 e b > 0

Exemplo 1. Resolva a equação 5^x = 8.
Solução: Temos que

Observe que o logaritmo possui base 5. As calculadoras usuais só realizam cálculos de logaritmos na base 10 ou neperiana. Dessa fora, precisamos fazer uma mudança de base. Optamos por fazer a mudança para a base 10. Assim,

Logo, x = 1,292
Portanto, S = {1,292}

Exemplo 2. Resolva a equação 9^(2x+1) = 13
Solução: Temos que

Fazendo a mudança de base no logaritmo gerado, teremos:

Assim, ficamos com:

Portanto, S = {0,084}

Exemplo 3. Resolva a equação 5^-x = 3.
Solução: Sabemos que

Nos exemplos anteriores fizemos a opção por mudar a base do logaritmo para 10. Neste faremos a mudança para a base e (base natural).

Dessa forma,

Assim,

Portanto, S = {-0,682}

• LOGARITMOS

Lembre-se que, algebricamente, o logaritmo é um expoente. Mais precisamente, se b > 0 e b 1, então para valores positivos de x o logaritmo na base b de x é denotado por    

e é definido como sendo aquele expoente ao qual b deve ser elevado para produzir x. Por exemplo,

Historicamente, os primeiros logaritmos a serem estudados foram os de base 10 chamados de logaritmos comuns. Para tais logaritmos, é usual suprimir referência explícita para a base e escrever log x e não . Mais recentemente, os logaritmos de base dois desempenharam importante papel em ciência computacional, uma vez que surgem naturalmente em sistema numérico binário. Porém, os logaritmos mais largamente usados nas aplicações são logaritmos naturais, os quais tem uma base natural denotada pela letra e em homenagem ao matemático suíço Leonard Euler, que primeiro sugeriu sua aplicação aos logaritmos no artigo não-publicado, escrito em 1728. Esta constante, cujo valor está em seis casas decimais, é
e2, 718282
surge como assíntota horizontal ao gráfico da equação
y =

Os valores deaproximam-se a e

x
1	2	2,000000
10	1,1	2,593742
100	1,01	2,704814
1000	1,001	2,716924
10.000	1,0001	2,718146
100.000	1,00001	2,718268
1.000.000	1,000001	2,718280

O fato de que y = e, quando x e quando x é expresso pelos limites
  e   
A função exponencial f (x) = é chamada de função exponencial natural. Para simplificar a tipografia, esta função é, algumas vezes, escrita como exp x. Assim, por exemplo, você pode ver a relação expressa como
exp(+) = exp() exp()
Esta notação é também usada por recursos computacionais, e é típico acessar a função com alguma variação do comando EXP.