Principais exercícios de Vestibulares - Matéria Matemática - Explicação - Funções trigonométricas

9.       Funções trigonométricas

No círculo trigonométrico temos arcos que realizam mais de uma volta, considerando que o intervalo do círculo é [0, 2π], por exemplo, o arco dado pelo número real x = 5π/2, quando desmembrado temos: x = 5π/2 = 4π/2 + π/2 = 2π + π/2. Note que o arco dá uma volta completa (2π = 2*180º = 360º), mais um percurso de 1/4 de volta (π/2 = 180º/2 = 90º). Podemos associar o número x = 5π/2 ao ponto P da figura, o qual é imagem também do número π/2. Existem outros infinitos números reais maiores que 2π e que possuem a mesma imagem. Observe:

9π/2 = 2 voltas e 1/4 de volta
13π/2 = 3 voltas e 1/4 de volta
17π/2 = 4 voltas e 1/4 de volta

Podemos generalizar e escrever todos os arcos com essa característica na seguinte forma: π/2 + 2kπ, onde k Є Z. E de uma forma geral abrangendo todos os arcos com mais de uma volta, x + 2kπ.

Estes arcos são representados no plano cartesiano através de funções circulares como: função seno, função cosseno e função tangente.

Características da função seno

É uma função f : R → R que associa a cada número real x o seu seno, então f(x) = senx. O sinal da função f(x) = senx é positivo no 1º e 2º quadrantes, e é negativo quando x pertence ao 3º e 4º quadrantes. Observe:

Gráfico da função f(x) = senx

Características da função cosseno

É uma função f : R → R que associa a cada número real x o seu cosseno, então f(x) = cosx.  O sinal da função f(x) = cosx é positivo no 1º e 4º quadrantes, e é negativo quando x pertence ao 2º e 3º quadrantes. Observe:

Gráfico da função f(x) = cosx

Características da função tangente

É uma função f : R → R que associa a cada número real x a sua tangente, então f(x) = tgx.
Sinais da função tangente:

 Valores positivos nos quadrantes ímpares.
 Valores negativos nos quadrantes pares.
 Crescente em cada valor.

Gráfico da função tangente

Principais exercícios de Vestibulares - Matéria Matemática - Explicação - Funções Logarítmica e Exponencial

8-  Funções Logarítmica e Exponencial

Existem equações exponenciais que não podem ser reduzidas a uma igualdade de potências de mesma base. A partir do estudo de logaritmos podemos resolver esse tipo de equação. Para a resolução dessas equações utilizamos a definição de logaritmo:

com 0 < a ≠ 1 e b > 0

Exemplo 1. Resolva a equação 5^x = 8.
Solução: Temos que

Observe que o logaritmo possui base 5. As calculadoras usuais só realizam cálculos de logaritmos na base 10 ou neperiana. Dessa fora, precisamos fazer uma mudança de base. Optamos por fazer a mudança para a base 10. Assim,

Logo, x = 1,292
Portanto, S = {1,292}

Exemplo 2. Resolva a equação 9^(2x+1) = 13
Solução: Temos que

Fazendo a mudança de base no logaritmo gerado, teremos:

Assim, ficamos com:

Portanto, S = {0,084}

Exemplo 3. Resolva a equação 5^-x = 3.
Solução: Sabemos que

Nos exemplos anteriores fizemos a opção por mudar a base do logaritmo para 10. Neste faremos a mudança para a base e (base natural).

Dessa forma,

Assim,

Portanto, S = {-0,682}

• LOGARITMOS

Lembre-se que, algebricamente, o logaritmo é um expoente. Mais precisamente, se b > 0 e b 1, então para valores positivos de x o logaritmo na base b de x é denotado por    

e é definido como sendo aquele expoente ao qual b deve ser elevado para produzir x. Por exemplo,

Historicamente, os primeiros logaritmos a serem estudados foram os de base 10 chamados de logaritmos comuns. Para tais logaritmos, é usual suprimir referência explícita para a base e escrever log x e não . Mais recentemente, os logaritmos de base dois desempenharam importante papel em ciência computacional, uma vez que surgem naturalmente em sistema numérico binário. Porém, os logaritmos mais largamente usados nas aplicações são logaritmos naturais, os quais tem uma base natural denotada pela letra e em homenagem ao matemático suíço Leonard Euler, que primeiro sugeriu sua aplicação aos logaritmos no artigo não-publicado, escrito em 1728. Esta constante, cujo valor está em seis casas decimais, é
e2, 718282
surge como assíntota horizontal ao gráfico da equação
y =

Os valores deaproximam-se a e

x
1	2	2,000000
10	1,1	2,593742
100	1,01	2,704814
1000	1,001	2,716924
10.000	1,0001	2,718146
100.000	1,00001	2,718268
1.000.000	1,000001	2,718280

O fato de que y = e, quando x e quando x é expresso pelos limites
  e   
A função exponencial f (x) = é chamada de função exponencial natural. Para simplificar a tipografia, esta função é, algumas vezes, escrita como exp x. Assim, por exemplo, você pode ver a relação expressa como
exp(+) = exp() exp()
Esta notação é também usada por recursos computacionais, e é típico acessar a função com alguma variação do comando EXP.

Principais exercícios de Vestibulares - Matéria Matemática - Explicação - Cálculo de volume geométricos

7.1.                  Cálculo do volume dos principais sólidos geométricos

Fórmulas:

A = área da base;
a,b,c = lados;
h = altura;
V = volume;

Paralelepípedo:

V = a*b*c;

Cubo:

V = a*b*c => a³ (Pois possui todos os lados iguais);

Esfera:

V = 4/3*pi*r³;

Cilindro:

V = pi*r²*h;

Cone:

V = 1/3*pi*r²*h (Perceba a semelhança com a fórmula do cilindro);

Pirâmide:

V = (A*h)/3;

Prisma regular:

V = A*h (Repare que o volume de um prisma regular é igual a três vezes o volume de uma pirâmide de mesma base e mesma altura);

Principais exercícios de Vestibulares - Matéria Matemática - Explicação - Cálculo de volume geométricos

7.                  Cálculo do volume dos principais sólidos geométricos

Dizemos que o volume de um corpo é o espaço que ele ocupa. Esses corpos possuem capacidade de acordo com o tamanho de suas dimensões. Observe as principais medidas de volume e sua correspondência com a capacidade:

1m³ (metro cúbico) = 1 000 litros
1dm³ (decímetro cúbico) = 1 litro
1cm³ (centímetro cúbico) = 1 mililitro

Para determinarmos o volume de um corpo precisamos multiplicar a área da base e a altura. Lembrando que a base de uma figura pode assumir variadas dimensões (triângulos, quadriláteros, pentágonos, hexágonos, heptágonos entre outros). Alguns sólidos recebem nomes e possuem fórmula definida para o cálculo do volume.


Prisma

Os prismas são sólidos em que o volume depende do formato da base. Para isso precisamos saber qual a fórmula indicada para calcular, primeiramente, a área da base de um prisma e, posteriormente, determinar o volume.

Paralelepípedo

Uma piscina possui o formato de um paralelepípedo com as seguintes dimensões: 10 metros de comprimento, 6 metros de largura e 1,8 metros de profundidade. Determine o volume e a capacidade da piscina.

V = a * b * c
V = 10 * 6 * 1,8
V = 108 m³ ou 108 000 litros


Pirâmide

As pirâmides podem possuir em sua base um triângulo, um quadrilátero, um pentágono, um hexágono entre outros. A fórmula para determinar o volume de uma pirâmide é:

Determine o volume de uma pirâmide quadrangular medindo 6 metros de comprimento e altura igual a 20 metros.

Cone

A base de um cone possui o formato circular. Para determinar o volume de um cone utilizamos a seguinte fórmula:

Um reservatório tem o formato de um cone circular reto invertido, com raio da base medindo 5 metros e altura igual a 10 metros. Determine o volume do reservatório.

Cilindro

O cilindro possui a base superior e base inferior no formato circular. Seu volume é dado pela fórmula:

V = π * r² * h



Vamos calcular o volume de um cilindro circular com raio da base medindo 8 cm e altura igual a 20 cm.

V = 3,14 * 8² * 20
V = 3,14 * 64 * 20
V = 4 019,20 cm³


Esfera

A esfera é um corpo circular maciço, formado pala rotação de um semicírculo. O volume da esfera é dado pela expressão:

Determine o volume da esfera que possui raio igual a 3 metros.